レンタルサーバーのサポートにネット連絡をしたところ、夕方に返信がありました。
コントロールパネルのツールからphpMyAdminを再インストールをしてみろとのこと。
レンタル後、これは一度も触ったことはありませんでした。
バージョンは3.5.2から4.8.0に上がりましたが、何度やっても最新バージョンにはなりませんでした。
「mysql拡張がありません」は消えましたが、未だ何やらエラー表示が出ています。
レンタル領域に「phpMyAdmin」は無いので修正は出来ません。
まあ、WordPress上実害がないので暫く放っておきましょう。